Erwartungswert: Die Zahl hinter jeder guten Entscheidung
· von Florian Engler
Beim Poker kann man richtig spielen und trotzdem verlieren, falsch spielen und trotzdem gewinnen. Wer wissen will, ob eine Entscheidung gut war, darf deshalb nicht aufs Ergebnis schauen. Er muss fragen, was die Entscheidung im Durchschnitt bringt. Diese Zahl heißt Erwartungswert, kurz EV (vom englischen expected value).
Die Idee
Stell dir vor, du könntest dieselbe Situation tausendmal spielen, mit denselben Karten auf der Hand, aber jedes Mal einem neuen Board. Manchmal gewinnst du, manchmal verlierst du. Der Erwartungswert ist das, was du pro Mal im Durchschnitt gewinnst oder verlierst. Ist er positiv, ist die Entscheidung auf Dauer gewinnbringend, auch wenn sie im Einzelfall schiefgeht.
EV = Σ (Wahrscheinlichkeit × Ergebnis)
Man nimmt also jedes mögliche Ergebnis, gewichtet es mit seiner Wahrscheinlichkeit und zählt alles zusammen.
Ein Münzwurf als Aufwärmübung
Jemand bietet dir eine Wette an: Bei Kopf bekommst du 15 Coins, bei Zahl zahlst du 10. Der EV ist 0,5 × 15 + 0,5 × (−10) = +2,5. Im Schnitt gewinnst du pro Wurf 2,5 Coins. Nach einem einzigen Wurf hast du entweder 15 gewonnen oder 10 verloren, nie 2,5. Aber nach hundert Würfen liegst du ziemlich sicher im Plus, nach tausend fast garantiert. Genau so funktioniert Poker auf lange Sicht.
Ein Call am Tisch
Die häufigste EV-Rechnung am Pokertisch ist die Frage, ob sich ein Call lohnt. Beispiel: Am Turn liegen 150 Coins im Pot, die Wette deines Gegners eingerechnet. Du musst 50 zahlen und schätzt, dass du in 30 % der Fälle gewinnst. Nach deinem Call geht es um 200.
- In 30 % der Fälle gewinnst du den Pot: Du bekommst 200, davon waren 50 dein Einsatz. Gewinn: +150.
- In 70 % der Fälle verlierst du: −50.
EV = 0,3 × 150 + 0,7 × (−50) = 45 − 35 = +10
Der Call bringt im Schnitt 10 Coins, obwohl du ihn in sieben von zehn Fällen verlierst. Wer nach dem Ergebnis urteilt, hält ihn für einen Fehler. Wer nach dem EV urteilt, macht ihn jedes Mal wieder. Die Grenze liegt dort, wo der EV null wird: bei 50 / 200 = 25 % Gewinnchance. Das sind genau die Pot Odds. Pot Odds sind nichts anderes als eine Abkürzung für diese EV-Rechnung.
Gute Entscheidung, schlechtes Ergebnis
Asse gegen Könige, beide gehen vor dem Flop mit je 1.000 Coins all-in. Die Asse gewinnen 82,4 % der Boards, 0,5 % werden geteilt. Ihr Anteil am Pot von 2.000 Coins beträgt im Schnitt 1.653 Coins, der EV des All-ins also +653 Coins. Trotzdem verlieren die Asse in etwa jeder sechsten Hand alles.
Spieler nennen so etwas einen Bad Beat. Er ändert nichts daran, dass das All-in richtig war. Der Spieler mit den Assen hat in diesem Moment 653 Coins gewonnen, im Erwartungswert. Die Karten bestimmen nur, wann er sie bekommt. Wer das verinnerlicht, ärgert sich weniger über einzelne Hände und spielt die nächste besser. Mehr dazu im Artikel über Tilt.
Auch Folden hat einen EV
Ein Fold kostet in dem Moment nichts mehr, sein EV ist null, gemessen ab jetzt. Was du schon in den Pot gesteckt hast, ist weg, egal wie du dich entscheidest. Das klingt selbstverständlich, wird aber ständig falsch gemacht: „Ich habe schon so viel investiert, jetzt kann ich nicht mehr aussteigen.“ Doch, kannst du. Entscheidend ist nur, ob der nächste Call einen positiven EV hat. Die Coins von vorhin gehören bereits dem Pot.
Umgekehrt gilt: Der Pot, der schon in der Mitte liegt, ist der Grund, warum Calls mit wenig Gewinnchance lohnen können. Je größer der Pot im Verhältnis zur Wette, desto weniger musst du gewinnen.
EV einer Wette
Bei einer eigenen Wette gibt es mehr Ausgänge: Der Gegner foldet, er callt und du gewinnst, er callt und du verlierst, oder er erhöht. Ein Beispiel ohne Erhöhung: Am River liegen 100 im Pot, du setzt 50 als Bluff, und du gewinnst nur, wenn der Gegner foldet. Foldet er in 40 % der Fälle, ist der EV 0,4 × 100 − 0,6 × 50 = 40 − 30 = +10. Der Bluff lohnt sich, obwohl er öfter scheitert als klappt. Die Grenze liegt bei 50 / 150 = 33,3 % Folds. Wie man daraus eine Strategie macht, steht im Artikel über Bluffen.
Bei einer Wette mit einer starken Hand rechnet man andersherum: Wie oft zahlt der Gegner mit einer schlechteren Hand, und wie oft hat er eine bessere? Eine Wette, auf die nur bessere Hände zahlen und schlechtere folden, hat einen schlechteren EV als ein Check, auch wenn sich die Hand stark anfühlt.
Warum der Durchschnitt so lange braucht
Der EV setzt sich erst über viele Hände durch. Die Schwankung um ihn herum heißt Varianz, und sie ist beim Poker groß. Ein Spieler, der in jeder Entscheidung etwas besser spielt als seine Gegner, kann trotzdem über hunderte Hände im Minus sein. Das ist kein Zeichen, dass er falsch spielt, sondern ganz normales Pech.
Für das eigene Spiel heißt das zweierlei. Erstens: Beurteile Entscheidungen, nicht Ergebnisse. Frag nach einer Hand nicht „Habe ich gewonnen?“, sondern „Hatte ich gute Gründe für das, was ich getan habe?“. Zweitens: Spiel nur mit dem, dessen Verlust dich nicht aus der Ruhe bringt. Im Kartenraum ist das leicht, weil es nur um Spielgeld geht.
EV im Kopf
Am Tisch rechnet niemand jede Entscheidung auf die Kommastelle aus. Aber die Frage nach dem EV lässt sich sehr schnell grob beantworten: Was kostet mich diese Aktion, was kann ich gewinnen, und wie oft? Mit den Pot Odds hast du die Hälfte schon, mit einer groben Gewinnchance aus dem Gefühl oder dem Gewinnchance-Rechner die andere. Im Tutorial zeigt dir der Trainer bei jedem Call genau diese beiden Zahlen, so lange, bis du sie auch ohne ihn im Kopf hast.